A felületi feszültség fogalmát Thomas Young 1805-ben tisztázta, és az elnevezés is tőle származik (a koncepciót Pierre-Simon de Laplace fejlesztette tovább 1806-ban). Az elnevezés mechanikai eredetű, ami nem csoda, hiszen akkoriban még Isaac Newton mechanikája volt a tudomány kezdete és vége, így Young a felületi feszültséget is ebbe a sorba illesztette. Így lett a felületi feszültség első mértékegysége N/m: ez az az erő, amely a folyadékfelület egységnyi hosszán hat, és arra törekszik, hogy gömbbé húzza össze a folyadékcseppet (azért gömbbé, mert a gömb fajlagos felülete a legkisebb a háromdimenziós testek közül, és a természet a felület minimalizálásával minimalizálja a felületi feszültség okozta energiatöbbletet). Arról már ritkán lehet olvasni (bár fontos), hogy ez az erő a folyadék széthúzásával szemben hat, és hogy a fent említett egységnyi hossz valójában a széthúzási irányra merőleges síkban mérhető kerülettel egyenlő (Kaptay, 2009). Ennek a történelmi hagyománynak köszönhető az, hogy a kolloidkémia oktatása jellemzően mechanikai alapokról és differenciálegyenletekkel indul, „kisebb” zavart okozva a vegyészhallgatókban, akik nem a differenciálegyenletek, hanem a kémiai reakcióegyenletek világában szocializálódtak (ellenpéldaként lásd: Kaptay, 2018).

A helyzetet elvileg változtatta meg Josiah Willard Gibbs, aki 1874–78-as művében a felületi feszültséget a Bevezetésben tárgyalt kémiai termodinamikai alapokra helyezte, így lett annak modern mértékegysége a J/m2. A két mértékegység ma is keveredik mind az oktatásban, mind a kutatásban, de ez nem jelent ellentmondást, hiszen J = N × m, így J / m2 = N / m. A kétfajta (a mechanikai és a kémiai termodinamikai alapú) iskola ugyanazt a jelenséget vizsgálja két oldalról: az egyik az erőkön, a másik az energiákon keresztül. Ez a kétfajta módszer békésen elfér egymás mellett, különösen annak tudatában, hogy a mechanika is tárgyalható az erők és az energiák oldaláról is. Tárgyunk szempontjából azonban fontos, hogy 1886-ban Eötvös (és vele együtt egész Európa) nagy valószínűséggel még nem ismerte Gibbs 1874–78-as írását, de nyilvánvalóan ismerte Young és Laplace írásait. A felületi feszültség Young-féle mechanikai modellje egyébként Eötvösnek, fizikusként teljesen meg is felelt.

A fizika mellett azonban a 19. század elejétől kezdve az alkímia is fokozatosan tudománnyá alakul át, és ettől kezdve kémiának nevezzük. Jellemző, hogy az akkor méltán világhírű folyóirat, ahol Eötvös 1886-os cikkét publikálta, akkor éppen (1824 és 1900 között) az Annalen der Physik und Chemie név alatt futott. Az átnevezés éve (1824) a kémia elismertségének javulását jelzi, míg a visszanevezés éve (1900) arra utal, hogy a 19. század végére már volt elég kémiai és fizikai kémiai folyóirat ahhoz, hogy a fizikusok visszatérhessenek a szó szerinti fizikához.

A 19. században még nem volt olyan tudományos módszer, amivel az anyag állítólagos építőköveit, az atomokat és molekulákat vizsgálni, vagy létüket bizonyítani tudták volna. Ezért ezek léte akkor csak egy hipotézis volt, amely elvetésre vagy megerősítésre várt. A tudománytörténet úgy tudja, hogy a kérdés Albert Einstein egyik 1905-ös cikkével dőlt el (Einstein, 1905), amely a Brown-féle mozgás elméletéről szólt, és amelyben először jelenik meg az Avogadro-szám 6 ×1023 értéke („persze” mértékegység nélkül). Robert Brown botanikus ugyanis 1827-ben mikroszkóp alatt megfigyelte, hogy a víz tetején lévő spórák cikcakkos mozgást végeznek, de ez nem biológiai, hanem fizikai jelenség, hiszen ugyanilyen mozgást végeznek a szervetlen kristályok is. Ezt ugyan Brown is a vízmolekulák mozgásának és spórákat lökdöső hatásának tulajdonította, de egészen 1905-ig ez csak egy újabb hipotézis volt. Cikkünk témája szempontjából nem érdektelen, hogy Einstein elméleti modelljén felbuzdulva Jean Perrin 1911-ben publikálta Brown kísérleteinek reprodukálását, és Einstein képletei segítségével eljutott (végre) a valóságra hasonlító atomi méretig (higanyra 0,28 nm), amiért 1926-ban Nobel-díjat kapott (Perrin, 1912). Megjegyzem, hogy az atomi méret kérdése Perrin cikkét követően hamarosan lezárult, amikor megjelent a röntgendiffrakció módszere, amivel nagy felbontással lehetett kristályok rácsparamétereit mérni, és innen az atomi méreteket számolni (Max von Laue ezért kapott Nobel-díjat 1914-ben, majd William Bragg és Lawrence Bragg [apa és fia] megosztott Nobel-díjat 1915-ben).

A kémia tehát kezdetben főleg makroszkopikus fizikai módszerek felhasználásával alakult ki és fejlődött (sőt a kémia ma is rengeteg fizikai módszert és berendezést használ). A legegyszerűbb ezek közül az volt, hogy a kémiai reakciók lejátszódása közben pontos tömegméréseket végeztek: ezen az alapon állapította meg Antoine Lavoisier 1789-ben a tömegmegmaradás elvét. Őt azonban 1794-ben a francia forradalom alatt lefejezték (mint szinte mindenkit, aki a forradalom előtt „kidugta a fejét”), ami érezhetően visszavetette a kémia további fejlődését. Ennek ellenére ez az iskolapéldája annak, hogy a legegyszerűbb mérések, ha azokat szisztematikusan és a lehető legnagyobb alapossággal végezték, és társult hozzájuk némi fantázia is, elképesztő felfedezésekhez vezettek. Ez volt egyébként az a módszer, amit Eötvös is követett.

Ennek egy másik példája az ideális gáztörvény felfedezése, aminek több, messze nyúló következménye is lett. Az egész egy sokadrangúnak tűnő kérdés vizsgálatával kezdődött: Robert Boyle az 1660-as években azt vizsgálta, hogy adott tömegű és hőmérsékletű gázoknak különböző térfogatú edényekbe zárva vajon mekkora a nyomásuk. Innen következett Boyle felismerése (1662), hogy a térfogat és a nyomás szorzata konstans érték, adott tömeg és hőmérséklet mellett. Több mint egy évszázad telt el, mire Jacques Charles 1787-ben azt is kimutatta, hogy a térfogat lineáris függvénye a hőmérsékletnek állandó tömeg és nyomás esetén. Aztán az események felgyorsultak: Joseph Gay-Lussac 1808-ban már azt is kimérte, hogy a nyomás is lineáris függvénye a hőmérsékletnek adott tömeg és térfogat esetén, miközben a nagyobb térfogat egyre nagyobb tömegű gázt tud befogadni adott hőmérsékleten és nyomáson. Ezeket az állításokat összerakva már elérkezünk az ideális gáztörvényhez, miszerint a gáz térfogatának (V, m3) és nyomásának (p, Pa) szorzata arányos annak hőmérsékletével (T, K), szorozva a gáz tömegével (m, g): p × V ~ m × T. Innen persze még hiányzik egy arányossági tényező, amelynek értéke sajnos minden gázra más.

Innen indulva a tudományos gondolkodás több irányban is megtermékenyült. Egyrészt Avogadro 1811-ben megfogalmazott egy hipotézist, miszerint az adott térfogatú, hőmérsékletű és nyomású, de kémiailag különböző gázok azonos mennyiségű atomot/molekulát tartalmaznak; tehát ezen hasonló gázok tömege csak azért különbözik egymástól, mert az egyedi gázatomok/-molekulák különböző tömegűek. Azaz, a gáznyomás, a hőmérséklet, a térfogat és a tömeg méréseiből meghatározhatóak a különböző molekulák relatív (egymáshoz viszonyított) tömegei. Ehhez az alapot pedig John Dalton szolgáltatta még 1805-ben, aki azt javasolta, hogy a legkönnyebb elem, a hidrogén tömegét tekintsék 1-nek. Igen, jól látjuk: az atomtömeget anno egy dimenziómentes számnak tekintették, ami számértékét tekintve megegyezik a moláris tömeggel, de ma már g/mol-ban mérve.

Avogadro ötletét Stanislao Cannizzaro valósította meg, aki 1858-ban publikálta harminc elem (moláris) tömegét, a ma ismert g/mol értékeket két-három értékes jegy pontossággal megközelítve (a H = 1 értékből kiindulva például: C = 12, O = 16, Cl = 35,5). Nagyszámú méréseiből Cannizzaro logikailag azt is kihozta (amit Dalton még nem tudott), hogy a hidrogéngázban valójában nem H-atomok, hanem kétatomos H2-molekulák vannak, amelyeknek ezért 2 (g/mol) a (moláris) tömegük. Ez adta az alapot Dmitrij Ivanovics Mengyelejevnek ahhoz, hogy a mért relatív (moláris) tömegek alapján sorba rakja az elemeket, de ezt a sort megtörje kémiai hasonlóság szerint, és így előállítsa a maira már erősen hasonlító periódusos táblázatát 1869-ben. Mindezt Eötvös minden bizonnyal ismerte, ami onnan is látszik, hogy cikkében a különböző kémiai anyagokra korrekt kémiai képletük szerepel.

Térjünk vissza az ideális gáztörvényhez a relatív atomtömegek ismeretében (M, mai mértékegysége g/mol). Ha a fenti arányosság (p × V ~ m × T) jobb oldalát elosztjuk M-mel, akkor úgy találjuk, hogy a p × V ~ (m / M) × T képletben az arányossági tényező már független lesz az anyagi minőségtől, hiszen azt éppen a különböző M értékekkel kompenzáltuk (ez az arányossági tényező pedig az egyetemes gázállandó: R = 8,315 J/molK, ami persze csak a Kelvin-féle hőmérsékleti skála bevezetése után jön ki – lásd lent). Az m / M hányados jelenti azt a halmazt, amelyben Avogadro azonos számú molekulát képzelt el. Nevezzük el ezt a halmazt anyagmennyiségnek (n), azaz n = m / M, mértékegysége g / (g/mol) = mol. Ezzel el is érkeztünk az ideális gáztörvény mai alakjához: p × V = n × R × T.

Ebben az 1 molban tehát Avogadro-számnyi molekula helyezkedik el (NAv, 1/mol vagy darab/mol). Innen az anyagmennyiség a molekulák darabszámának (N, darab) és az Avogadro-számnak a hányadosa (n = N / NAv). Kár, hogy az Avogadro-szám értékét akkor még nem ismerték, ami tehát 2 g H2-gázban lévő molekulák vagy 12 g szénben lévő atomok számát jelenti (mai definíciója szerint ez 12 g C-12 izotópban lévő atomok számát jelenti, de az izotópok fogalmát a 19. században még nem ismerték, ami azonban ebből a szempontból nem is lényeges, hiszen két értékes jegy pontossággal 12 g szénben 12 g C-12 van). Felmerülhet a kérdés, hogy miért lett volna jó ismerni az Avogadro-számot? Ha ismerték volna, akkor tudták volna, hogy M tömegű anyagban mennyi (NAv = 6 × 1023 darab) atom/molekula van, így az M / NAv hányadosból meghatározhatták volna egy atom/molekula tömegét. Ráadásul, ha az M moláris tömeget (g/mol) elosztjuk a szilárd vagy folyékony anyag sűrűségével (g/cm3), akkor az anyag moláris térfogatát kapjuk (Vm, cm3/mol), azaz azt a térfogatot, amelyet 1 mol anyag elfoglal. Ha ezt elosztjuk az Avogadro-számmal, akkor megkapjuk 1 atom (vagy molekula) térfogatát (cm3 / mol / darab / mol = cm3 / db). Ha a legegyszerűbb modell szerint ebből a hányadosból köbgyököt vonunk, akkor megkapjuk az atom (molekula) átmérőjének becsült értékét. Példa: az alumínium atom-tömege 27 g/mol, sűrűsége szobahőmérsékleten 2,7 g/cm3, azaz moláris térfogata 10 cm3/mol = 10−5 m3/mol. Tegyük fel, hogy ismert az Avogadro-szám legalább egy értékes jeggyel (lásd fent). Innen az alumíniumatomok tömege 4,5 × 10−26 kg, becsült átmérője pedig 0,26 nm. Utóbbi csak az egyszerűsített moláristérfogat-modell miatt tér el valamelyest a valós értéktől (0,28 nm). Mindezt azonban Eötvös idejében még nem tudták, mert ehhez hiányzott az Avogadro-szám.

Az ideális gáztörvényt Johannes Didier van der Waals fejlesztette tovább egy másik irányba (1873), aki kimutatta, hogy a reális gőzök és folyadékok egymással csak az ún. kritikus hőmérséklet alatt tartanak egyensúlyt, ezen hőmérséklet felett azonban már gázként viselkednek, amiből összenyomással folyadék nem kondenzálható (Nobel-díj, 1910). Tehát Eötvös felületi feszültség méréseinek kezdetén már ismert volt a kritikus állapot léte, és ez lehetőséget adott Eötvösnek arra, hogy annak értelmezését saját mérései segítségével kiterjessze.

Az ideális gáztörvény másfajta továbbgondolását Sir Kelvin (William Thomson) végezte el (1848). Ha ugyanis a p × V / m kifejezést egy adott gázra ábrázoljuk a hőmérséklet függvényében, akkor egy egyenest kapunk: a p × V / m értékek a hőmérséklet növelésével lineárisan emelkednek. Akkoriban a hőmérsékletet Celsius-fokban mérték: a 0 °C felelt meg a jég olvadási hőmérsékletének, a 100 °C pedig a víz 1 bar nyomáson mért „normál” forrási hőmérsékletének. A Kelvin által extrapolált p × V / m értékek −273 °C-on metszették el a zérus értéket; ezen belül konstans V / m érték mellett a nyomás volt az, ami zérussá vált. Ekkor már régen tudták, hogy a nyomás a felületen eloszló erő, meg azt is tudták, hogy ha biliárdgolyókkal bombázunk egy falat, onnan egyrészt a golyók visszapattannak, másrészt eközben erőt/nyomást közölnek a fallal, és az ennek hatására akár fel is dőlhet, ha nem támasztjuk meg hátulról. Innen jött az ötlet a gáznyomás értelmezésére: tegyük fel, hogy a gázmolekulák kis biliárdgolyókként összevissza száguldoznak a gázban, és eközben ütköznek egymással is és a fallal is, miközben ezen ütközések során a falnak átadott impulzus (kinetikus energia) tömegük és sebességük függvénye. A gázmolekulák tömege nyilván nem hőmérsékletfüggő (amit a mérések igazoltak), tehát csak a molekulák sebessége csökkenhet fokozatosan a hőmérséklet csökkentésével, és ezért csökken a nyomás is a hőmérséklet csökkentésével (egy személyes tapasztalat leningrádi diákéveimből: mi is szignifikánsan lelassultunk −50 °C-on a szobahőmérsékleten mérhető sebességünkhöz képest). Tegyük fel, hogy létezik egy „abszolút zérus hőmérséklet”, amikor minden atomi mozgás befagy, és ezért ekkor a gázmolekulák sebessége is nullára csökken – emiatt azok már egyáltalán nem ütköznek a fallal, azaz megszűnik a gáznyomás. Ma ezt az abszolút zérus hőmérsékletet nevezzük zérus kelvinnek (0 K = −273 °C), és innen mérjük az abszolút hőmérsékletet, aminek lépésköze megegyezik a Celsius-skála lépésközével. Így a jég olvadáspontja 273 K = 0 °C, a víz normál forráspontja pedig 373 K = 100 °C.

A fenti Kelvin-ötlet adja a kinetikus gázelmélet alapját, ami a gázban száguldozó molekulák sebességeloszlásának bonyolult statisztikai elmélete (James Maxwell és Ludwig Boltzmann, 1871). Innen következik az ún. Boltzmann-állandó, amely a gáztörvényben az arányossági tényező 1 atomra/molekulára számítva, azaz a Boltzmann-állandó az empirikusan ekkor már ismert 8,314 J/molK gázállandó és a még ismeretlen Avogadro-szám hányadosa. Ha tehát a Boltzmann-állandó elméletileg ismert, akkor innen következik az Avogadro-állandó értéke is. Ennek meghatározása tehát 1871-ben elvileg lehetségessé vált. De csak elvileg, mert Boltzmann nem tartotta fontosnak 1871-es művében megadni a később róla elnevezett állandó értékét, azt csak 1900-ban, Max Plancktól tudtuk meg. Ennek ellenére Boltzmann bécsi professzor barátja, Johann Josef Loschmidt már 1865-ben eljutott az ideális gáztörvény és a kinetikus gázelmélet erősen nyakatekert kombinációjából a „levegőmolekulák” 0,969 nm-es méretéig, ami már nagyságrendileg helyes eredmény volt, annak ellenére, hogy „levegőmolekula” nincs, csak nitrogén-, oxigén- stb. molekulák elegye van. Ezt az értéket azonban akkor még a tudományos közvélemény nem vette komolyan (a kinetikus gázelmélettel együtt), de innen legalább nyilvánvalóvá vált, hogy a molekulaméretek témája a 19. század második felében az Osztrák–Magyar Monarchiában „az utcán hevert”. Így Eötvösnek elvileg rendelkezésére állt 1865 (Loschmidt) és 1911 (Perrin) között egy negyvenhat éves időablak, amikor a saját, 1886-os eredményeit (amelyeket éppen ezen időablak közepén publikált) elvileg felhasználhatta volna az Avogadro-szám és a molekulák (vagy higanyatomok) méretének becslésére is (részletesebben lásd lent).

Végeredményben 1875-re a kémia és a fizikai kémia alapjait lerakták, de a kritikus állapot fogalma még éppen csak megszületett. Ismerték ugyan a relatív atomtömegeket és innen a relatív molekulatömegeket is, de nem tudták, hogy egységnyi tömegű anyagban hány atom/molekula van (Avogadro-szám), és azt sem, hogy egy atomnak/molekulának mekkora a tömege vagy a mérete. Ekkor lépett a színre Eötvös, hogy új fizikai módszerével további fejlődést érjen el. Eötvös idejében tehát a felületi feszültség méréseiből elvileg két lényegi kérdéshez lehetett (volna) hozzászólni a természettudományokban: a kritikus állapot fogalmának kiterjesztéséhez (ezt Eötvös megtette) és a molekulák méretéhez, illetve az Avogadro-szám értékéhez (ezt Eötvös sajnos nem tette meg).

 

Eötvös egy jelentős dologban lép tovább Laplace eredeti módszeréhez képest: a felületi feszültséget nem egy nyílt cellában vizsgálja (ez lett volna a könnyebbik út), hanem egy zárt, de átlátszó üvegedényben (ez volt a nehezebb út), ráadásul a hőmérséklet függvényében. Így a mérés során a zárt edényben lévő folyadék a fűtés hatására fokozatosan párolog, és egyensúlyt tart saját gőzével, azaz Eötvös a forrásgörbe mentén méri le a felületi feszültség hőmérsékletfüggését. Ez az elrendezés automatikusan elvezeti Eötvöst a kritikus hőmérséklet megfigyeléséhez. Kritikus az a hőmérséklet, amely felett az alacsonyabb hőmérsékleten még könnyen megfigyelhető folyadék/gőz határfelület eltűnik, mivel a folyadék és a nagy nyomású gőz sűrűségei a kritikus hőmérsékleten azonossá válnak, emiatt azonossá válnak azok törésmutatói is. Ezért ezen a hőmérsékleten már mérni sem lehet, de a mérési pontok extrapolációja alapján Eötvös úgy találta, hogy a felületi feszültség a nulla értékhez tart, ahogy a hőmérséklet megközelíti a kritikus hőmérsékletet.

Eötvös a cikkeit egyetlen szerzőként jegyzi, de ebben az 1876-os cikkben a következőt olvashatjuk: „E kísérletek kivitelét illetőleg a fő érdem Pokorny Ottokár műegyetemi repetitor urat illeti, ki a fáradságos beállításokat a kezdetlegesen összeállított eszközön nagy türelemmel és ügyességgel végezte.” Ezt csak azoknak írom, akik talán csodálkoznak azon, hogy volt a báró úrnak ideje 160 folyadék felületi feszültségét a hőmérséklet függvényében lemérni egyéb bokros teendői mellett.

Az elképesztő mérési pontosságot Eötvös körültekintően megválasztott műszerekkel érte el. Sajnos már ekkor is jellemző volt a tudományos műszerek magyar gyártóbázisának hiánya, ami (néhány üde kivételtől eltekintve) ma is jellemző. Ezek szerint: „A kathetometer Perreaux műhelyéből való volt […] a theodolit Starke és Kummer műhelyéből származott, ezt Aujeszky Lipót főreáltanodai tanár úr volt szíves a rendelkezésemre bocsájtani.” Egy másik örök magyar kutatói vonás is megjelenik tehát már 1886-ban: a műszerekkel való csencselés.

Bár Eötvös cikke címében arra fókuszál, hogy új egyenletet dolgozott ki a felületi feszültség és a molekula-térfogat között, utóéletét tekintve azonban Eötvös kapilláris egyenlete főleg nem ezért fontos, hanem azért, mert kiterjesztette a kritikus pont jelentését és jelentőségét. Bemutatta ugyanis, hogy saját kritikus hőmérsékletéhez közelítve kivétel nélkül minden folyadék felületi feszültsége a nullához közelít, és ezt ma is így tudjuk, illetve ez az az eredmény, amit a kolloidkémia világszerte Eötvös felismerésének tekint. Ez tehát Eötvös kapilláris egyenletének elméleti jelentősége. Érdemes megemlíteni, hogy azóta az Eötvös-egyenletet kiterjesztették más határfelületekre is (Kaptay, 2020). Az ugyanis általánosan érvényes minden határfelület-típusra, hogy azon a hőmérsékleten, amikor a határfelület eltűnik (mert például feloldódik egymásban a határfelületet definiáló korábbi két fázis), akkor a határfelületi energia zérussá válik. Ez egy nagyon hasznos határérték, amit én többek között a szuperötvözetek élettartama szempontjából fontos koherens szilárd/szilárd határfelületi energia hőmérsékletfüggésének leírására használtam a közelmúltban (Kaptay, 2020), és amit azóta amerikai kutatók is átvettek (Ardell, 2021).

Ugyanakkor, ennek az egyenletnek van egy nagyon hasznos gyakorlati jelentősége is: elegendő ugyanis egy folyadék felületi feszültségének értékét egy hőmérsékleten lemérni, hiszen Eötvös kapilláris egyenletéből a kritikus hőmérséklet ismeretében a felületi feszültség jó pontossággal kiterjeszthető más hőmérsékletekre is. Sőt, ha elhisszük, hogy az átlagos Eötvös-állandó érvényes a bennünket érdeklő folyadékra is, akkor egyáltalán nem kell lemérni a folyadék felületi feszültségét, mert annak értéke a kritikus hőmérséklet és a moláris térfogat (sűrűség) ismeretében Eötvös kapilláris egyenletéből következik. Ráadásul, vannak olyan folyadékok is, amelyek kritikus hőmérséklete olyan nagy, hogy annak kísérleti meghatározása nehézkes (ilyenek például a fémolvadékok). Ebben az esetben lemérve a felületi feszültség hőmérsékletfüggését, ezen értékek extrapolációjával a mérhetetlenül nagy kritikus hőmérséklet megbecsülhető Eötvös kapilláris egyenletének segítségével (lásd például Lang, 1977 vagy Kaptay, 2012).

Érdemes még megemlíteni egyes (túlságosan) „nagy” nemzetek betegségét, miszerint szeretnek szinte minden tudományos eredményt saját nemzetük kutatóiról elnevezni (USA és Oroszország, hogy csak néhányat említsek). Személyes tapasztalatom, hogy ennek ellenére Eötvös kapilláris egyenletét mindezen országokban Eötvösnek tulajdonítják. Az már más kérdés, hogy nevét hogyan ejtik ki, és az is, hogy tisztában vannak-e Eötvös magyar voltával, vagy tudják-e, hogy pontosan hol is van Magyarország (ne legyenek illúzióink, az oroszok pontosan tudják). Én mindenesetre külföldi előadásaimon terjesztem ezt az „igét” is.

A legegyszerűbb modell szerint 6-os koordinációt elképzelve egy térfogati molekula körül (ahol a szomszéd molekulák alul, felül, balra, jobbra, elöl és hátul helyezkednek el), ez a molekula a felületre kerülve az egyik szomszédját veszíti el, azaz α ≅ 1/6, de jegyezzük meg, hogy α értéke függ a folyadék térfogatának és felületének szerkezetétől. A folyadékok kohéziós energiája első közelítésben a kritikus hőmérsékleten zérusra csökken. Ha ráadásul elhanyagolom a hőkapacitás hőmérsékletfüggését is, akkor a kohéziós energia egyszerűsített modellegyenlete: Hcoh ≅ –Cp × (Tcr – T), ahol Cp (J/molK) a folyadék átlagos moláris hőkapacitása. Végül a legegyszerűbb modell szerint a folyadékok moláris felülete a moláris térfogat függvényében az ω ≅ f × Vm2/3 × NAv1/3 egyenlettel írható le, ahol f (dimenziómentes) egy olyan paraméter, amely a folyadékok térfogati és felületi szerkezetének függvénye, de első közelítésben értéke 1,0 körüli. Behelyettesítve a három utóbbi összefüggést a fentibe, a következő egyenlethez jutunk: σ ≅ α × Cp × (Tcr – T) / (f × Vm2/3 × NAv1/3). Összehasonlítva ezt a modellegyenletet Eötvös kapilláris egyenletével, az Eötvös-állandóra a következő elméleti kifejezést kapjuk: k ≅ α × Cp / (f × NAv1/3). Ennek ismeretében nem csoda, hogy az Eötvös-állandó nem azonos minden folyadékra, és nem hőmérséklet-független. Hiszen minden folyadéknak különbözik a térfogati és felületi szerkezete és hőkapacitásának hőmérsékletfüggése. Ennek ellenére szó lehet hasonló folyadékokról, amelyekre az α × Cp / f hányados értékei közel azonosak, és ezért rájuk az Eötvös-állandó értéke is közel azonos.

A fent talált egyszerűsített értékekből (α ≅ 1/6 és f ≅ 1) az Eötvös-állandó egyszerűsített modellegyenlete: k ≅ Cp / (6 × NAv1/3). Ha tehát ismerjük egy adott folyadék Eötvös-állandóját és moláris hőkapacitását (amit Eötvös korában a fajlagos hőkapacitás (J/gK) és a relatív atomtömeg (g/mol) szorzatából lehetett meghatározni), akkor innen becsülhető az Avogadro-szám értéke. Például a kloroformra: k = 2,30 × 10−7 J/Kmol2/3, míg a moláris hőkapacitás ma ismert értéke (Handbook, 1993) Cp = 114,2 J/molK, ami feltehetőleg Eötvös idejében is hasonló értékkel volt ismert. Behelyettesítve ezeket az értékeket az utóbbi egyenletbe, NAv ≅ 5,67 × 1023 1/mol értéket kapunk, ami a valós értéktől (NAv ≅ 6,02 × 1023 1/mol) csak 6%-kal tér el. A kloroform átlagos moláris térfogatát (Vm = 8,0 × 10−5 m3/mol) osztva ezzel az értékkel és köbgyököt vonva az eredményből a kloroformmolekula átmérőjére 0,52 nm-t kapunk, ami jó közelítő eredmény, és biztosan pontosabb, mint Loschmidt 0,969 nm értéke a „levegőmolekulák” átmérőjére. Bár meg kell jegyeznem, hogy az Avogadro-szám a fenti képlet szerint a hőkapacitás és az Eötvös-állandó hányadosának a köbéből adódik, és ez a köbre emelés erősen felnagyítja az Avogadro-szám becslési hibáját, ami emiatt jelentősen szór a különböző folyadékokra.

Elképzelhető, hogy a T. Olvasók a fenti eszmefuttatást történelmietlennek tartják, és úgy gondolják, hogy ennyi okoskodást (ez Eötvös egyik kifejezése 1876‑os cikkében) nem várhattunk el Eötvöstől 1886 táján. Lehet, hogy így van. De ha elolvassuk Loschmidt 1865-ös okoskodásait, úgy gondolhatjuk, hogy a fenti gondolatmenetre 1886-ban tán volt némi esély.

A valóságban huszonöt további évre és Albert Einsteinre volt szükség ahhoz, hogy Eötvös mérési eredményeiből valaki kihámozza az atomi méreteket: Einstein 1911-es cikkében ezt megteszi, és a higanyatom átmérőjére 5,19 × 10−9 ad meg, de „természetesen” mértékegység nélkül. Feltételezve, hogy Einstein ekkor az MKS (méter-kilogramm-szekundum) rendszert használta, ez ma 5,19 nm-t jelent, ami több mint egy nagyságrenddel nagyobb a valós értéknél. Ezzel végérvényesen felmenthetjük Eötvöst az alól a naiv várakozás alól, hogy neki 1886-ban esélye lett volna a valós molekulaméretek meghatározására. Inkább ünnepeljük Eötvös Lorándot azért, amit elért: egy saját maga által tervezett műszer segítségével, Magyarországon mért adatokból új egyenletet írt fel a felületi feszültség hőmérsékletfüggésére, amit a kémia, az anyagtudomány és a biológia a mai napig ismer és elismer. Ezzel minden valószínűség szerint ő az egyetlen magyar természettudós kutató, aki már a 19. században is világhírnévre tett szert. Tette ezt ráadásul itthon (és nem külföldön) élve és alkotva.