Az árverések, tágabban véve adásvételi mechanizmusok tervezése és elemzése kiforrott témakör. A korábbi közgazdaságtani Nobel-emlékdíjasok között például William Vickrey (a 1996-os díj egyik nyertese) az 1960-as évek elején már stratégiai optimalizációs feladatként vizsgált különböző árverési modelleket aszimmetrikus információ mellett. Leonid Hurwicz, Eric S. Maskin és Roger B. Myerson a mechanizmustervezés 1970-es években lerakott elméleti alapjaiért részesült hasonló elismerésben 2007-ben, bő tíz évvel Vickrey után. Az idei díj már kifejezetten a gyakorlati alkalmazások által inspirált és azokon keresztül kifinomított „második generációs” modelleknek szól; a díjazottak személyén keresztül tudósok egész közössége kap így elismerést. Ez korántsem jelenti azt, hogy a díjazottak ne lennének a szakma (főleg az elméleti közgazdaságtan) nagyágyúi: Robert B. Wilson, aki két korábbi Nobel-emlékdíjas közgazdász doktoriját is felügyelte, iskolát teremtett. Paul R. Milgrom (Wilson tanítványa, Maskin és Myerson kortársa) pedig az információ közgazdaságtanában tett egyéb korszakalkotó felfedezéseket.

Az árverési modellek kiindulópontja az, hogy egy eladó rendelkezik egy vagy több egyedi tárggyal (például egy lakással vagy több frekvenciasávval), amelyet bizonyos szempontok szerint (például a bevételét vagy az elosztás hatékonyságát, társadalmi hatását szem előtt tartva) szeretne eladni kisszámú, stratégiailag gondolkodó érdeklődőnek. A vevőknek és az eladónak tipikus esetben eltérő (szakszóval aszimmetrikus) információik vannak a tárgyról vagy tárgyakról. Az eladó határozza meg az adásvétel szabályait: a licitek nyíltak vagy titkosak, egy-egy tárgyra vagy kombinációkra vonatkoznak-e, a nyertesek és vesztesek mennyit fizetnek, és így tovább.

Alapvetően fontos kérdés, hogy az eladandó tárgyak értékét a vevők az adásvétel megkezdése előtt már ismerik-e. Ha minden vevő tisztában van azzal, hogy neki a tárgy (vagy azok kombinációi) mennyit ér(nek), mert például saját használatra, fogyasztási céllal vásárol és nem viszonteladásra vagy befektetési céllal, akkor tisztán egyéni értékelésről beszélünk. Amikor viszont minden potenciális vevőnek a tárgy utólag ugyanannyit ér, csak előzetesen különbözőek a becsléseik, tisztán közös értékelésről beszélünk. A két extrém eset a gyakorlatban szinte sosem lép fel. Az idei díjazottak egyik fontos hozzájárulása éppen az volt, hogy a köztes eseteket is elemezték. Cikkünkben az egyszerűbb esetektől fogunk haladni a bonyolultabbak felé.

Megemlítjük, hogy a helyzet megfordítható: az alkalmazástól függően a vevő is licitáltathatja az eladókat, mint például a (köz)beszerzésben. Minden átfogalmazható. A vételi feladatokban az árverés vezetőjének célfüggvényében általánosan megjelenik az alacsony ár mellett a minőség is. Ezekre is vannak eredmények (többdimenziós árverési feladatok, ún. pontozásos árverések), de hely hiányában nem térünk ki rájuk.

A cikk bevezetés utáni része négy szakaszból áll: 1. egyéni értékelések, 2. közös vagy köztes (egyéni és közös) értékelések egy tárgy esetén, 3. több tárgy egyidejű árverése, 4. tanulságok.

Az egyszerűség kedvéért feltesszük, hogy vA > vB. Mindkét vevőnek van elegendő pénze, hogy megvegye a tárgyat, ha úgy érzi, hogy megéri neki. Ha mindhárom szereplő tudná a két egyéni értéket, akkor például az eladó A-nak adná el a tárgyat, vA-ért, anélkül hogy B-t bevonná az üzletbe.

Az eladó azonban általában nem tudja, hogy mennyit ér a tárgy a két vevőnek, és egyik vevő sem tudja, hogy a másik vevőnek mennyit ér a tárgy. Ilyenkor évezredek óta árverést rendeznek. A legismertebb módszer egyszerűsített változatában a p kikiáltási ár folyamatosan növekszik, és az egyes vevők addig tartják fönn az ajánlatukat, ameddig jónak látják; ha egy vevő kiszáll, utána nem léphet be újra. Könnyű belátni, hogy a B vevő vB-nél száll ki, tehát az ár p = vB, az A vevő nyeresége vA – vB. (A valóságban az árak 5–10 százalékkal emelkednek addig, amíg mindkét vevő érdekelt, sőt, maguk a vevők is beadhatnak „ugró” liciteket. Ezektől a részletektől első közelítésben érdemes eltekinteni.) Ezt a mechanizmust angol árverésnek szokás nevezni.

Egy másik mechanizmusban, amit az amszterdami nagybani virágpiac használ, és így holland árverésnek nevezünk, az ár egy magas kikiáltási árról esik folyamatosan lejjebb. (A gyakorlatban az árat egy nagy óra jelzi.) Az első vevő, aki megálljt kiált, azon az áron veszi meg a tárgyat, ahol az „árórát” megállította. Ez egy alapvetően más stratégiai szituáció, mint az angol árverés, ahol az áróra alulról indul felfelé, és a vevők folyamatosan esnek ki a versenyből. A holland árverésben a nyertes (példánkban A) nem fogja megállítani az órát vA-nál, mert akkor nem tesz szert semmilyen haszonra, de amennyiben nem ismeri vB-t, akkor valószínűleg nem hagyja leesni az árat egészen vB-ig sem, mert fél tőle, hogy B közbeszól, és elviszi előle a tárgyat. Az optimális licitet egy bekezdéssel alább meg is adjuk.

A holland árverés stratégiailag ekvivalens a zárt licites, ún. elsőáras tenderrel. Ott mindkét vevő, egymástól függetlenül, beadja a legmagasabb árat, amit hajlandó a tárgyért fizetni; a magasabb licit nyer, és a nyertes vevő kifizeti, amit ígért. Kicsit belegondolva, a holland árverésben is pontosan az a kérdés, hogy a licitáló mennyit hajlandó fizetni, azaz hol állítja meg az órát, ha ő az, aki a legmagasabb árnál tervezi az órát megállítani. Ezért a holland árverés és az elsőáras, zárt licites tender valóban ekvivalens minden résztvevő számára. A zárt borítékos lebonyolítás gyakorlati előnye az, hogy a vevőknek nem kell egyszerre megjelenniük az árverésen sem személyesen, sem virtuálisan.

Ha a nyertes által fizetett ár a saját licitje, akkor természetesen alacsonyabb licitet ad be, mint a saját értékelése. A vevő, aki sokat ígér, nagyobb eséllyel győz, de sokat is fizet; aki keveset ígér, néha veszít, amikor magasabb licittel esetleg nyerhetne. Az optimális licit játékelméleti módszerekkel pontosan meghatározható. Vickrey 1961-es cikkében elsőként vezette le, hogy amennyiben a vevők értékelései azonos és független eloszlásokból származnak, valamint a céljuk a pénzben mért nyereségük matematikai várható értéke (tehát többek közt nem törődnek a nyereség varianciájával, szakszóval kockázatsemlegesek), akkor a Nash-egyensúlyi licit a többi vevő értékelései maximumának feltételesen várható értéke arra a feltételre kondicionálva, hogy az adott vevő értékelése a legmagasabb. Ha például az értékelések azonos és független egyenletes eloszlásokból származnak zérus alsó határral, akkor az egyensúlyi licit a vevő értékelésének (n−1)/n hányada. Ha kettő helyett tíz licitáló van, akkor 50 helyett az egyéni érték 90 százalékát érdemes licitálni. Tanulság: az eladónak minél több vevőt kell meghívnia az árverésre, hogy növelje a bevételét. Egy másik érdekes következmény, hogy ebben az egyszerű esetben (szimmetrikus, független értékelések, kockázatsemleges vevők) az eladó bevételének várható értéke ugyanakkora az angol és holland (vagy az utóbbival ekvivalens elsőáras, zárt borítékos tender) esetén. Az előbbi árverésben a bevétel maga a második legmagasabb értékelés, az utóbbi esetben a bevétel ugyanennek a véletlen változónak a feltételes várható értéke a legmagasabb becslés adott értékére.

Az ilyen helyzeteket először Robert B. Wilson tárgyalta 1969-es rövid cikkében, amelyben támaszkodott a magyar származású Harsányi Jánosnak a nem teljes információs játékok elemzésére vonatkozó, frissen publikált általános módszerére. (Közbevetés: Harsányi János születésének 100. évfordulója épp 2020-ban volt.) Paul R. Milgrom pedig a 1980-as és 1990-es években több olyan adásvételi modellt is alkotott, ahol a szereplők értékelései mindenki más privát információitól függnek, és az információik egymással pozitívan korreláltak. Az ilyen modellekben az egyes vevők eredetileg nem tudják, pontosan mennyit ér nekik a tárgy, de a többiek licitálási hajlandósága „jó hír” a számukra, azaz növeli a becsült értékelésüket.

A közös (nem tisztán egyéni) érkelésű tárgyra licitáló vevők általában hamar rájönnek, hogy a nyertes nagy eséllyel túlbecsüli a tárgy értékének közös komponensét. Ez nem valami pszichológiai alapú tévedés, hanem annak a következménye, hogy a legjobb torzítatlan (a tárgy várható értékével egyező) értékbecslés általában közel esik az összes vevő becslésének átlagához, míg a legmagasabb licit beadójának értékbecslése azok maximuma. E jelenség népszerű neve a győzelem átka: a nyertes sosem nyer akkorát, mint gondolta. Racionális vevők erre eleve felkészülnek, és alacsonyabb liciteket adnak be. Egyensúlyban az „átok” az eladóra száll.

A „győzelem átka” más helyzetekben is előfordul. Az 1940-es évek végéről származó anekdota szerint Groucho Marx azzal utasította el egy hollywoodi klub meghívását, hogy „nem lesz olyan klub tagja, amely őt tagjául fogadja”. A biztosítótársaságok is tisztában vannak azzal, hogy a klienseik között az átlagosnál gyakoribbak a káresemények; használt autók vevői pedig sejtik, hogy az eladó okkal akar túladni tragacsán. A kontraszelekció jelenségének elemzéséért George Akerlof kapott megosztott közgazdaságtani Nobel-emlékdíjat 2001-ben – a győzelem átka e jelenség speciális esete.

A jobb megértés végett lássunk egy egyszerű számpéldát. Tegyük fel, hogy B értékelése továbbra is tisztán egyéni, viszont A értékelése függ a saját, valamint B információjától is. Specifikusan B értékelése, vB, legyen 0 és 100 között egyenletes eloszlású véletlen szám, A értékelése pedig egy ettől független becslés („jel”), sA, és B értékelése felének összege, azaz vA = sA + 0,5vB. A vevők információi (sA és vB) statisztikailag függetlenek, mivel feltevésünk szerint az egyik eloszlása nem függ a másik realizációjától, ellenben maguk az értékelések összefüggőek. Ahogy korábban említettük, ennek oka például az lehet, hogy B értékelése valami olyan tudást tükröz, amely A-t segíti, hogy megbecsülje: mennyit ér a tárgy mint befektetés. Az A vevő a priori nem tudja, mi vB értéke, csak azt, hogy egyenletes eloszlású a [0,100] intervallumon.

Az árverés kezdete előtt A legjobb becslése a tárgy értékét tekintve E[vA] = sA + 25, mivel vB várható értéke 50, amelynek a felét kell sA-hoz adni. Azonban A szempontjából nem lenne helyes az angol árverésben addig licitálnia, amíg az ár el nem éri ezt a szintet! Ha például sA viszonylag alacsony, mondjuk sA = 10, és ezért A az E[vA] = 35 árszintig tervezne licitálni, akkor kellemetlen meglepetés érheti. Ha B a p = 30 árnál kiszáll, és így A nyer, akkor abból kiderül, hogy vB = 30, úgyhogy A értékelése végül is 10 + 0,5 × 30 = 25, amely alacsonyabb, mint az általa fizetendő ár. Ez a győzelem átka: az A vevő számára rossz hír, hogy ilyen alacsony áron nyer, mert az azt jelenti, hogy a tárgy értékének közös komponense (B értékelése) is alacsony.

Mi a helyes stratégia? Ez a következő gondolatkísérlettel határozható meg. Ha B a p árnál száll ki, akkor abból A megtudja, hogy vB = p, és ezért A értékelése sA + 0,5p. Az A vásárlónak nem szabad olyan p-nél benn maradnia, ahol ez az értékelés kisebb, mint az ár, azaz sA + 0,5p < p, ekvivalens átalakítással 2sA < p, mert ha ekkor B hirtelen kiszáll, akkor A többet fizet, mint amit a tárgy neki ér. Az A vevő helyes kiszállási pontja tehát pontosan 2sA: így mindig elkerüli a győzelem átkát.

Az elv általánosan (például Milgrom 1981-es, az információk bizonyos fajta korrelációját is megengedő modelljében) az, hogy az angol árverésben addig az árig érdemes licitálni, amíg a következő igazzá nem válik: ha minden más aktív vevő hirtelen feladja a licitálást, ezzel felfedve, hogy mi a számunkra is releváns információjuk a tárgy értékét illetően, akkor ezeket az információkat a saját értékelési formulánkba behelyettesítve pontosan akkora az értékelésünk, mint az ár, amelynél így megnyertük a tárgyat. Matematikailag ez az értékelések ún. fixpontja a vevő saját információja függvényében. A fixpont létezését az biztosítja, ha minden vevő információja a saját értékelésére nagyobb hatással van, mint mindenki máséra. Milgrom egyik komoly érdeme volt, hogy felismerte, ez az információ közgazdaságtanában másutt is használt „egyszer-metszési feltétel” (Michael Spence találmánya, aki a már említett Akerloffal és Joseph Stiglitzcel osztotta meg a 2001-es Nobel-emlékdíjat).

A példánkat módosítsuk úgy, hogy A és B értékelésében egyaránt megjelenjék a másik információja. Legyen például vA = sA + 0,5sB és vB = sB + 0,5sA, ahol sA és sB az A és B által rendre megfigyelt jel. Csupán saját információja ismeretében meddig licitáljon A? Az előbb említett elv (egyensúlyi stratégia) szerint addig az árig, ahol adott sA mellett p = vA = vB. Az értékek egyenlőségéből és a szimmetriából következően sB = sA. Visszahelyettesítve az értékelés függvénybe, A optimális stratégiája az, hogy a p = vA = 1,5sA árnál száll ki. Figyeljük meg, hogy noha A értékelés függvénye nem változott a korábbihoz képest, viszont annak tudata, hogy B értékelése szintén függ az övétől, felerősítette a győzelem átkát: a módosított példában A félénkebben licitál.

A mechanizmustervezés korai irodalma az ilyen feladatokat absztrakt szinten tárgyalta. A „megoldás” szerint minden vevő adjon be egy-egy licitet a tárgyak összes lehetséges kombinációjára. Bonyolult számítások révén meg lehet határozni a nyerteseket és az általuk (és esetleg a vesztesek által is) fizetett összegeket úgy, hogy senkinek ne érje meg a mechanizmus „kijátszása”, miközben az eladó által elvárt (bevétel- vagy hatékonyságmaximalizáló) kimenetel jöjjön ki. A korai irodalom vagy gavallérosan eltekintett a nem tisztán egyéni értékelések problémájától, vagy feltette, hogy a résztvevőktől nem csupán liciteket lehet kérni, hanem a rendelkezésükre álló összes információt is valahogyan be lehet szedni. Egy másik probléma ezekkel a mechanizmusokkal az, hogy szabályaik bonyolultak (a beadott licitek és számítások a tárgyak számával exponenciálisan nőnek), és a végső fizetési szabályok tipikusan különböző, személyre szabott árakat határoznak meg, amelyek versenyjogi kérdéseket is felvetnek.

Gyakorlatban is használható és elméletileg megalapozott mechanizmusokra különösen nagy igény keletkezett az 1990-es évek elején, amikor a használaton kívüli rádiós és televíziós sugárzási jogokat (azaz meghatározott frekvenciasávokat) egyre több országban mobilkommunikációs célra akarták értékesíteni. Az egyik legnagyobb ilyen árverést az amerikai FCC (Szövetségi Kommunikációs Bizottság) 1994-ben hajtotta végre a két díjazott, Paul R. Milgrom és Robert B. Wilson konkrét javaslatai alapján (lásd Milgrom hivatkozott 2000-es cikkét).

A mechanizmus neve szimultán többfordulós emelkedőáras árverés (simultaneous multi-round ascending-price auction). A vevők több körön át minden egyes tárgyra egyszerre licitálnak, azok kombinációira azonban nem. Egy adott fordulóban csak az addigi legmagasabb liciteket meghaladó, zárt borítékos liciteket lehet beadni. A forduló végeztével az árverés vezetője minden tárgyra közzéteszi az addigi legmagasabb (nyerő) licitet, és hogy azt ki adta be. Az árverésen való tevőleges részvételt ún. aktivitási szabályok ösztönzik. A licitálás előtt minden vevőnek letétbe kell helyeznie egy összeget, amellyel jogosultságot szerez egy adott mennyiségű tárgyra való licitálásra. A vevő nem adhat be új licitet több tárgyra, mint amennyire a fordulóban joga van, ellenben ha jóval kevesebb tárgy árverésében aktív, akkor a jogosultsága folyamatosan csökken.

Az idő haladtával a jogosultság egyre nagyobb hányadát kell „kihasználni”, hogy az megmaradjon a következő körre. E szabály célja az, hogy a vevők ne egymásra várjanak – akinek komoly szándéka van, fejezze is azt ki! Emellett az aktív vevők egyre biztosabbak lehetnek abban, hogy az árverésen végül sikerrel járnak. Az árverésnek akkor van vége, amikor nem érkezik új licit egyetlen tárgyra sem. Azaz egyik „piac” sem zár be, amíg az összes tárgyon meg nem szűnik a licitálás.

A szabályok viszonylag egyszerűek. Elméletben a mechanizmus jól működik (bizonyos feltételek mellett érdemes őszintén licitálni, a licitek aggregálják a vevők információit, az árak a megfelelő szint felé konvergálnak), és a rendszer a gyakorlatban is jól vizsgázott. Az 1994 decemberében indított mobil távközlési árverésen például 99 licenc eladása közel hétmilliárd dollár bevételt hozott az amerikai kormánynak (Milgrom, 2000). Azóta más országok is átvették a rendszert, inkább több, mint kevesebb sikerrel (vö. Klemperer, 2002).