Tartalomjegyzék

• Vektorszámítás III.
• Impresszum
• ELŐSZÓ
• I. AZ INTEGRÁLFOGALOM KITERJESZTÉSE
  • 1. Többváltozós függvények integrálása
    • 1.1. Kettős integrálok
    • 1.2. A kettős integrálok tulajdonságai
    • 1.3. A kettős integrálok kiszámítása
      • 1.3.1. A téglalap alakú tartomány
      • 1.3.2. Integrálás tetszőleges alakú síkbeli tartományra
      • 1.3.3. Példák a kettős integrálok kiszámítására
    • 1.4. Térfogati integrálok
    • 1.5. Többszörös integrálok
    • 1.6. Többszörös integrálok görbevonalú koordináta-rendszerben
      • 1.6.1. A Jacobi-determináns
      • 1.6.2. Térbeli polárkoordináták, hengerkoordináta-rendszer
    • 1.7. Néhány geometriai, fizikai és műszaki alkalmazás
    • 1.8. Többszörös integrálok numerikus meghatározása
      • 1.8.1. A Monte-Carlo-módszer
  • 2. Vonalintegrálok
    • 2.1. A vonalintegrálok értelmezése
      • 2.1.1. Térgörbék ívhossza
      • 2.1.2. Változó erő munkája
      • 2.1.3. Elektromos és mágneses feszültségek
      • 2.1.4. Síkgörbék területe
    • 2.2. A vonalintegrálok kiszámítása
      • 2.2.1. Néhány görbe ívhosszának kiszámítása
      • 2.2.2. További vonalintegrálok
    • 2.3. Konzervatív erőterek
      • 2.3.1. Az első gradienstétel
      • 2.3.2. Többszörösen összefüggő tartományok
  • 3. Felszín szerinti és felületi integrálok
    • 3.1. Görbült felületek felszíne
    • 3.2. Felszínszámítás kettős integrálással
    • 3.3. Skalár- és vektormezők felületi integrálja
      • 3.3.1. Az irányított felületelem
      • 3.3.2. A fluxus
      • 3.3.3. Néhány példa
    • 3.4. Az elektrodinamika törvényeinek integrális megfogalmazása
      • 3.4.1. A Gauss-törvény
      • 3.4.2. A gerjesztési törvény
      • 3.4.3. Az indukció törvénye
      • 3.4.4. A Maxwell-egyenletek
• II. AZ INTEGRÁLTÉTELEK ÉS ALKALMAZÁSAIK
  • 4. A Gauss–Osztrogradszkij-tétel
    • 4.1. A Gauss-tétel szemléletes igazolása
    • 4.2. A Gauss-tétel bizonyítása
      • 4.2.1. Pszeudo-polárkoordináták
    • 4.3. „Lyukas” tartományok
    • 4.4. A Gauss-tétel általánosításai
      • 4.4.1. A tenzorokra vonatkozó Gauss-tétel
      • 4.4.2. A síkbeli Gauss-tétel
      • 4.4.3. A Gauss-tétel négy dimenzióban
    • 4.5. A Green-tételek
    • 4.6. A divergencia koordináta-rendszertől független értelmezése
      • 4.6.1. A divergencia kiszámítása görbevonalú ortogonális koordináta-rendszerekben
      • 4.6.2. Henger- és polárkoordináták
    • 4.7. A gradiens és a rotáció invariáns előállítása
  • 5. A Gauss–Osztrogradszkij-tétel fizikai alkalmazásai
    • 5.1. A kontinuitási egyenlet
      • 5.1.1. Térfogati integrálás időben változó határú tartományokra
    • 5.2. Az elektromos töltés megmaradása
    • 5.3. A Maxwell-egyenletek első csoportjának differenciális alakja
    • 5.4. Deformálható testek egyensúlya
    • 5.5. Folyadékok mozgásegyenletei
      • 5.5.1. Arkhimédész törvénye
    • 5.6. Az elektromágneses mező energiája, impulzusa és impulzusnyomatéka
      • 5.6.1. A Poynting-vektor
      • 5.6.2. A Maxwell-féle feszültségi tenzor
  • 6. A Stokes-tétel
    • 6.1. A tétel szemléletes igazolása
    • 6.2. A Stokes-tétel bizonyítása
    • 6.3. Többszörösen összefüggő tartományok
    • 6.4. A Stokes-tétel általánosításai
      • 6.4.1. A tenzorokra vonatkozó integráltétel
      • 6.4.2. A síkgörbékre vonatkozó Stokes-tétel
      • 6.4.3. A Stokes-tétel négy dimenzióban
  • 7. A Stokes-tétel alkalmazásai
    • 7.1. Örvénymentes vektormező körintegrálja
    • 7.2. Vonalmenti és felületi integrálás időben változó tartományokra
    • 7.3. A Stokes-tétel zárt felületek esetén
    • 7.4. A cirkuláció megmaradásának törvénye
    • 7.5. A Helmholtz-féle örvénytételek
    • 7.6. A Maxwell-egyenletek második csoportjának differenciális alakja
• III. DIFFERENCIÁLEGYENLETEK
  • 8. Közönséges differenciálegyenletek
    • 8.1. Az egyenletek osztályozása
    • 8.2. Elsőrendű differenciálegyenletek grafikus megoldása
    • 8.3. Néhány analitikus módszer
      • 8.3.1. Szétválasztható változójú differenciálegyenlet
      • 8.3.2. Homogén differenciálegyenlet
      • 8.3.3. Egzakt differenciálegyenlet
      • 8.3.4. Elsőrendű lineáris differenciálegyenlet
    • 8.4. Szinguláris megoldások
    • 8.5. Állandó együtthatós homogén lineáris differenciálegyenlet-rendszerek
      • 8.5.1. Konzervatív rendszerek kis rezgései
      • 8.5.2. Csillapított rezgő mozgás
    • 8.6. Szinguláris pontok
    • 8.7. Differenciálegyenletek numerikus megoldása
      • 8.7.1. Adams módszere
      • 8.7.2. A Runge–Kutta-módszer
      • 8.7.3. A Bessel-féle differenciálegyenlet
      • 8.7.4. A szukcesszív approximáció módszere
    • 8.8. Peremérték-problémák
      • 8.8.1. Peremérték-feladatok numerikus megoldása
    • 8.9. A Green-függvények
  • 9. Parciális differenciálegyenletek
    • 9.1. Az egyenletek osztályozása
    • 9.2. Elsőrendű lineáris és kvázilineáris parciális differenciálegyenletek
    • 9.3. A Laplace- és a Poisson-egyenlet
      • 9.3.1. A Poisson-egyenlet megoldása a teljes térben
      • 9.3.2. A megoldás egyértelműsége
      • 9.3.3. Egy formális megoldás
      • 9.3.4. A Green-függvény
      • 9.3.5. Mező előállítása a forrásaiból
      • 9.3.6. A Biot–Savart-törvény
      • 9.3.7. Síkbeli vektormezők
      • 9.3.8. Numerikus módszerek
      • 9.3.9. A Monte-Carlo-módszer egy újabb alkalmazása
    • 9.4. A hullámegyenlet
      • 9.4.1. A rezgő húr
      • 9.4.2. A változók szétválasztásának módszere
      • 9.4.3. Sík-, gömb- és hengerhullámok
      • 9.4.4. A hullámegyenlet elemi megoldása
      • 9.4.5. A hullámegyenlet Green-függvényei. Retardált és avanzsált megoldások
      • 9.4.6. Elektromágneses hullámok
      • 9.4.7. A hullámegyenlet numerikus megoldása
    • 9.5. A hővezetés egyenlete
      • 9.5.1. Kezdeti és peremfeltételek
      • 9.5.2. Vékony rudak hővezetése
      • 9.5.3. Fourier módszere
      • 9.5.4. A Schrödinger-egyenlet
      • 9.5.5. A kvantummechanika hidrodinamikai modellje
      • 9.5.6. Numerikus módszerek
  • 10. Variációszámítás
    • 10.1. A legegyszerűbb variációs probléma
      • 10.1.1. Euler módszere
      • 10.1.2. Lagrange módszere
      • 10.1.3. Hiányos Lagrange-függvények
      • 10.1.4. Néhány példa
    • 10.2. Vektorfüggvényekre vonatkozó variációs feladatok
      • 10.2.1. Görbült felületek geodetikusai
    • 10.3. Többváltozós függvények funkcionáljai
    • 10.4. Magasabb deriváltakat tartalmazó variációs feladatok
    • 10.5. Variációs feladatok – mellékfeltételekkel
    • 10.6. A fizika néhány variációs elve
      • 10.6.1. A Hamilton-elv
      • 10.6.2. Az Euler–Maupertius-elv
      • 10.6.3. A hővezetés egyenletének variációs származtatása
      • 10.6.4. A Fermat-elv
      • 10.6.5. Az elektrodinamika variációs elve
      • 10.6.6. A kvantummechanika variációs elve
    • 10.7. Szimmetriák és megmaradási törvények
    • 10.8. A variációszámítás direkt módszerei
• FÜGGELÉK
  • A függelék. Komplex változós függvények
    • A.1. Komplex változós függvények értelmezése
    • A.2. Határérték, folytonosság, differenciálhatóság
    • A.3. A Cauchy–Riemann-feltételek
    • A.4. Az Euler-formula
    • A.5. Konform leképezések
    • A.6. Komplex vonalintegrálok
    • A.7. A reziduum-tétel és alkalmazásai
  • B függelék. Fourier-sorfejtés és Fourier-transzformáció
    • B.1. Periodikus függvények Fourier-sorfejtése
    • B.2. Fourier-transzformáció
  • C függelék. A disztribúcióelmélet alapjai
    • C.1. A disztribúciók fogalma
    • C.2. Műveletek disztribúciókkal
    • C.3. Disztribúciók deriválása és integrálása. A disztribúciók tartója
    • C.4. Disztribúciók deriválása és integrálása egy folytonos paraméter szerint. Disztribúciók közelítése reguláris disztribúciósorozatokkal
    • C.5. Disztribúciók konvolúciója
    • C.6. Többváltozós disztribúciók
    • C.7. Mérsékelt disztribúciók, analitikus disztribúciók
    • C.8. Disztribúciók Fourier-transzformáltja
    • C.9. A Fourier-transzformáció tulajdonságai