Tartalomjegyzék

• Vektorszámítás I.
• Impresszum
• ELŐSZÓ
• I. SKALÁR- ÉS VEKTORMENNYISÉGEK
  • 1. Skaláris mennyiségek
    • 1.1. Fizikai mennyiségek és mérőszámok
    • 1.2. Algebrai szabályok
    • 1.3. Kivonás és negatív számok
    • 1.4. Negatív számokat tartalmazó szorzatok
    • 1.5. Többtagú összegek és az ezekből alkotott szorzat tulajdonságai
  • 2. Vektorok és vektorműveletek
    • 2.1. Vektorok összegezése
    • 2.2. Vektorok kivonása
    • 2.3. Vektor szorzása számmal
      • 2.3.1. A háromszög-egyenlőtlenség
      • 2.3.2. Vektorok lineáris kombinációja
    • 2.4. Vektorok által alkotott szög
    • 2.5. Vektorok skaláris szorzása
      • 2.5.1. A skaláris szorzat tulajdonságai
      • 2.5.2. Alkalmazás. (A cosinustétel)
    • 2.6. A vektoriális szorzat
      • 2.6.1. A vektoriális szorzat tulajdonságai
    • 2.7. A hármas vegyes szorzat
      • 2.7.1. Ciklikus permutáció
      • 2.7.2. A Levi–Civita-szimbólum
      • 2.7.3. A vektoriális szorzat disztributivitása
  • 3. A derékszögű koordináta-rendszerek
    • 3.1. A Kronecker-szimbólum
    • 3.2. Ortogonális koordináták
      • 3.2.1. Az alapvektorok reprezentációja
  • 4. Vektorműveletek derékszögű koordináták segítségével
    • 4.1. Összeadás
    • 4.2. Szorzás skalárral
    • 4.3. A skaláris szorzat reprezentációja
    • 4.4. A vektoriális szorzás elvégzése derékszögű koordinátákkal
    • 4.5. A hármas vegyes szorzat kifejezése koordináták segítségével. A determináns fogalma
    • 4.6. Vektor előállítása három, nem komplanáris vektorból
    • 4.7. A vektoriális hármasszorzat
    • 4.8. Vektorok négyesszorzatai
      • 4.8.1. Reciprok vektorok
  • 5. Analitikus geometria
    • 5.1. A helyzetvektor és a görbe egyenletének fogalma
      • 5.1.1. Az egyenes egyenlete
      • 5.1.2. A sík egyenlete
    • 5.2. A sík analitikus geometriája
      • 5.2.1. Az egyenes egyenlete
      • 5.2.2. A kör egyenlete
      • 5.2.3. Az ellipszis és hiperbola egyenlete
      • 5.2.4. A parabola egyenlete
    • 5.3. Síkbeli polárkoordináták
      • 5.3.1. Az egyenes polárkoordinátás egyenlete
      • 5.3.2. Az ellipszis, hiperbola és parabola polárkoordinátás egyenlete
    • 5.4. Három sík közös pontjának meghatározása
    • 5.5. Sík és egyenes metszéspontja
    • 5.6. Térelemek távolsága
      • 5.6.1. Két pont távolsága
      • 5.6.2. Két párhuzamos sík távolsága
      • 5.6.3. Kitérő egyenesek távolsága
      • 5.6.4. Pont és sík távolsága
      • 5.6.5. Pont és egyenes távolsága
      • 5.6.6. Alkalmazások
  • 6. Gömbi geometria
    • 6.1. A geodetikus vonal
    • 6.2. A gömbháromszög
    • 6.3. A gömbháromszög trigonometriája
    • 6.4. A polár-gömbháromszög
    • 6.5. Egy határeset
    • 6.6. Alkalmazás. A térbeli polárkoordináták egy tulajdonsága
• II. OPERÁTOROK
  • 7. Lineáris operátorok
    • 7.1. Forgatási operátorok
    • 7.2. Az ortogonális transzformáció
    • 7.3. Homogén lineáris transzformációk
    • 7.4. A lineáris operátorok reprezentációja
    • 7.5. Az ortogonális transzformációk reprezentációja, ortogonalitási relációk
      • 7.5.1. Az ortogonális transzformációk explicit alakja
    • 7.6. Lineáris transzformációk egymás utáni alkalmazása
  • 8. Mátrixalgebra
    • 8.1. A mátrix fogalma
    • 8.2. Mátrixműveletek
      • 8.2.1. Összeadás és kivonás
      • 8.2.2. Mátrix szorzása számmal
      • 8.2.3. Kétdimenziós mátrixok szorzási szabályai
      • 8.2.4. Egy- és kétdimenziós mátrix szorzata
    • 8.3. A transzpozíció
      • 8.3.1. Néhány speciális mátrix
      • 8.3.2. A transzpozíció szabályai
    • 8.4. Szimmetrikus és antiszimmetrikus mátrixok
    • 8.5. A diadikus szorzat
    • 8.6. Többdimenziós mátrixok szorzása
  • 9. Homogén lineáris transzformációk mátrixreprezentációja
    • 9.1. Az ortogonális transzformációk reprezentációja
      • 9.1.1. Az ortogonalitási relációk
      • 9.1.2. Az inverz transzformáció
    • 9.2. Két elforgatás egymásutánja
  • 10. Permutációs operátorok
    • 10.1. A csoport fogalma
    • 10.2. A permutációs csoport
      • A permutáció fogalma
      • 10.2.1. Kételemű elemsorozatokon értelmezett operátorcsoport
      • 10.2.2. Háromelemű elemsorozatokon értelmezett operátorcsoport
    • 10.3. Az N elemű permutációk néhány tulajdonsága
      • 10.3.1. Transzpozíció és szomszédcsere
      • 10.3.2. Páros és páratlan permutációk
      • 10.3.3. Permutációk előállítása transzpozíciókkal
  • 11. Lineáris egyenletrendszerek
    • 11.1. Lineáris egyenletrendszerek felírása mátrixokkal
    • 11.2. A determináns fogalma
      • 11.2.1. A Levi–Civita-szimbólum tulajdonságai
    • 11.3. A determináns néhány tulajdonsága
    • 11.4. A mátrixszorzat determinánsa
    • 11.5. A reciprok mátrix létezésének feltétele
    • 11.6. Almátrixok
    • 11.7. A kifejtési tétel
    • 11.8. Az adjungált mátrix
    • 11.9. A lineáris egyenletrendszerek megoldása
    • 11.10. Néhány mátrix determinánsának kiszámítása
    • 11.11. Magasabb rendű almátrixok
      • 11.11.1. Másodrendű almátrixok és aldeterminánsok
      • 11.11.2. Magasabb rendű almátrixok
      • 11.11.3. A kifejtési tétel általánosítása
      • 11.11.4. Kiegészítő almátrixok
      • 11.11.5. A mátrix rangja
    • 11.12. Az elfajult homogén lineáris egyenletrendszer
      • 11.12.1. Az első rendben elfajult homogén lineáris egyenletrendszer
      • 11.12.2. A kétszeresen elfajult homogén lineáris egyenletrendszer
      • 11.12.3. Az elfajult homogén lineáris egyenletrendszer általános esete
      • 11.12.4. Az elfajuló egyenletrendszer megoldásainak vizsgálata
    • 11.13. Az elfajult inhomogén egyenletrendszer
    • 11.14. Alkalmazás
      • 11.14.1. Tétel a mátrixok rangjával kapcsolatban
      • 11.14.2. Egy áramköri probléma
• III. TENZOROK
  • 12. A homogén lineáris vektoroperátor vagy tenzor
    • 12.1. A tenzor jellemzése
    • 12.2. Az inverz operátor
    • 12.3. Műveletek tenzorokkal
      • 12.3.1. Két tenzor szorzata
      • 12.3.2. Tenzorok lineáris kombinációja
    • 12.4. Tenzorok reprezentációja
      • 12.4.1. Néhány tenzor mátrixreprezentációja
      • 12.4.2. A transzponált tenzor
    • 12.5. Tenzorműveletek koordinátareprezentációja
    • 12.6. Összefüggés a tenzorok reprezentációi között
    • 12.7. Alkalmazások
      • 12.7.1. A tehetetlenségi tenzor
        • Forgó test kinetikus energiája
        • Merev test kinetikus energiája
      • 12.7.2. A merev test impulzusmomentuma
  • 13. A sajátérték-probléma
    • 13.1. A szekuláris egyenlet
    • 13.2. Tenzorok hatványai és a hatvány sajátértékei
    • 13.3. A sajátértékek és sajátvektorok meghatározása speciális esetekben
      • 13.3.1. A tehetetlenségi tenzor sajátértékei és sajátvektorai
      • 13.3.2. A forgatási operátor sajátértékei
    • 13.4. Komplex sajátértékek és sajátvektorok
    • 13.5. Hermite-operátorok
  • 14. Tenzorok előállítása diádok segítségével
    • 14.1. Elfajuló operátorok
    • 14.2. Sajátértékek és sajátvektorok
    • 14.3. Független sajátvektorokkal rendelkező operátorok előállítása
  • 15. Néhány különleges operátor
    • 15.1. A szimmetrikus operátor sajátvektorainak vizsgálata
    • 15.2. Az antiszimmetrikus operátor
    • 15.3. A vektoriális szorzat tenzorreprezentációja
  • 16. Geometriai alkalmazások
    • 16.1. A másodrendű görbék és felületek általános egyenlete
      • 16.1.1. A centrális egyenletek
      • 16.1.2. A kanonikus egyenlet
      • 16.1.3. A másodrendű görbék részletes leírása
      • 16.1.4. A másodrendű felületek részletes leírása
    • 16.2. Kúp metszése síkkal
    • 16.3. Másodrendű felület metszése síkkal
  • 17. Ferdeszögű koordináta-rendszerek
    • 17.1. Kovariáns és kontravariáns reprezentációk
    • 17.2. A kovariáns és kontravariáns reprezentációk geometriai jelentése
    • 17.3. A kovariáns és kontravariáns komponensek közötti összefüggés
    • 17.4. Vektorok összeadása ferdeszögű reprezentációkban
    • 17.5. A skaláris szorzat ferdeszögű reprezentációja
    • 17.6. A vektoriális szorzat ferdeszögű reprezentációja
    • 17.7. Tenzorok kovariáns és kontravariáns reprezentációja
    • 17.8. A tenzorreprezentációk Einstein-féle jelölésmódja
    • 17.9. A G mátrix tulajdonságai
    • 17.10. Kevert reprezentációk
    • 17.11. A tenzorok kovariáns, kontravariáns és vegyes reprezentációi közötti összefüggés
    • 17.12. A tenzorműveletek mátrixjelölése
    • 17.13. Koordináta-transzformációk
  • 18. Többdimenziós tenzorok
    • 18.1. A többdimenziós tenzor definíciója
    • 18.2. Háromdimenziós tenzorok
      • 18.2.1. A háromdimenziós tenzorok transzformációja
  • 19. Különleges operátorok
    • 19.1. A zérus- és egységoperátor
    • 19.2. Az operátor
    • 19.3. Az tenzor és a vektoriális szorzat
  • 20. A négydimenziós tér
    • 20.1. A vonatkoztatási rendszer
      • 20.1.1. A mozgás térbeli és időbeli jellemzése
      • 20.1.2. Az idő mérése
      • 20.1.3. A vonatkoztatási rendszer meghatározása
    • 20.2. A Lorentz-transzformáció
      • 20.2.1. Az „időtranszformáció” jelentése
      • 20.2.2. A Lorentz-csoport
      • 20.2.3. A Lorentz-transzformációk explicit előállítása
      • 20.2.4. A Lorentz-mátrix komponenseinek fizikai jelentése
      • 20.2.5. A Lorentz-transzformáció néhány speciális esete
    • 20.3. A Lorentz-deformáció
      • 20.3.1. A Lorentz-deformáció explicit formája
      • 20.3.2. A sebesség-összeadási törvény
      • 20.3.3. A Lorentz-kontrakció
    • 20.4. Koordináta-transzformációk és Lorentz-deformációk
    • 20.5. A négyesvektorok
      • 20.5.1. A négyesvektorok tulajdonságai
      • 20.5.2. Négyesvektorok skaláris szorzata
      • 20.5.3. Példa a skaláris szorzás alkalmazására
    • 20.6. A tér empirikus dimenziószáma
• FÜGGELÉK
  • Komplex számok
    • 1. Bevezetés
    • 2. Az imaginárius egység
    • 3. Komplex számok összege és szorzata
    • 4. Komplex számok osztása
    • 5. Gyökvonás
    • 6. Az algebra alaptétele
    • 7. A komplex számsík
    • 8. A komplex számok trigonometrikus alakja
    • 9. Műveletek trigonometrikus alakban adott számokkal
      • a) Szorzás
      • b) Hatványozás
      • c) Gyökvonás
      • d) Magasabb gyök