Milyen következményeket hordoznak a matematika nemteljességi tételei a fizika várva várt végső elméletére nézve? Ha a végső elméletre mint a fizika által elénk tárt természetet leíró modellre tekintünk, a tételeknek nincs következményük. Más a helyzet, ha a mindenség elméletét mint világmagyarázó metafizikai elvet képzeljük el, ekkor a nemteljességi tételek valós problémát szülnek. A tanulmány részletesen megvizsgálja mindkét esetet, és röviden ismerteti Gödel első és második tételét. Végül rávilágít, hogy egyetlen tisztán fizikai elmélet sem lehet konzisztens világmagyarázó elv, mert ebben az esetben önmagát is magyarázná.

 

 

What kind of inferences are carried by the incompleteness theorems of mathematics connected to the long awaited final theorem of physics. Analyzing the final theorem as a description of nature presented by physics, the thesis hasn’t got an issue. Moreover, if we imagine the theory of everything as a theory explaining the world, then the incompleteness theorems bring up real problems. The essay analyses the two cases in detail and reviews briefly Gödel’s first and second theories. Finally it argues, that no purely physical theory can be a consistent world explaining theory as in this case it would explain itself.

 

 

 

 

 

 

A címben feltett kérdés megválaszolásához először Kurt Gödel híres nemteljességi tételeit kell megismernünk. A tételeket sokan különböző formában fogalmazták meg, és nem egyszer oly területeken használják, amelyek egyáltalán nem tartoznak hatóköreik alá. A magam részéről az I. tételt Barkley Rosser megfogalmazásában (Torkel, 2014) igyekszem bemutatni, mert talán ez a matematikai leírás világít rá a legjobban a tétel érvényességi körére: Bármely konzisztens formális rendszerben, amely magában foglalja az aritmetika egy részét, létezik olyan állítás, amely nem bizonyítható és nem is cáfolható a rendszer keretein belül.

 

 

Először nézzük meg, hogy a fizika várva várt egyesített elmélete kielégíti-e a fenti feltételeket! Először a konzisztencia kérdését kell megvizsgálnunk. Nem kell sokat érvelnünk a fizika konzisztenciája mellett, vagy legalábbis az egyesített elmélet konzisztens voltát illetően. Nyilvánvalóan következetes, nélkülözi az ellentmondásokat, és a logika elemi szabályai szerint működik. A második nemteljességi tétel nem azt zárja ki, hogy egy elmélet konzisztens lehet, csupán azt, hogy a rendszer keretei között mindez nem bizonyítható, mindennek a részletes vizsgálatára később még visszatérünk. A formális rendszer kérdésének vizsgálata sem jelent komoly problémát, hiszen e folyóirat olvasói jól tudják, hogy a fizika tudománya formális jelek segítségével írja fel a különböző fizikai mennyiségeket, és ezek között logikai kapcsolatokat keres. Látszólag az aritmetikát is könnyedén magunk mögött tudhatnánk, mondván, a fizika számokkal operál. A helyzet mégsem ilyen egyszerű. A fizikai elméletek valóban tartalmazzák a számokat? Jól emlékszem, egyetemista koromban az egyik elméleti fizika zárthelyire nem vittem magammal számológépet. Először nagyon megrémültem, de mihelyt átgondoltam a helyzetet, egyáltalán nem féltem. Hamar rádöbbentem, hogy a feladatokhoz nem kapunk számokat, csak a fizikai jelek segítségével „számolunk”, végig paraméteresen. A nosztalgikus visszaemlékezés jól rávilágít arra, hogy a fizikai elméletek nem feltétlenül tartalmazzák a számokat (Székely, 2013). Természetesen badarság lenne azt állítani, hogy a fizika nem operál számokkal, ezeket azonban nem a saját elméletéből vezeti le, hanem a matematikától kölcsönzi. A fizikai elméletek és a tapasztalat között a számok teremtik meg a kapcsolatot. Felírhatom a fizika talán legegyszerűbb összefüggését, v = s/t, ez önmagában nem tartalmaz számokat, de számok nélkül használhatatlan, hiszen az összefüggés számok segítségével reprezentálja a fizikai valóságot. Fizikai elméleteink nem nélkülözhetik a matematika aritmetikai részét. A kérdés pusztán az, milyen következményeket hordoz magában egy olyan matematika használata, amely gödeli értelemben nem teljes? Mielőtt megválaszolnánk a kérdést, tisztáznunk kell, hogy pontosan mit értünk a fizika „nagy” egyesített elmélete alatt.

 

 

A fizika „végső” elmélete kapcsán két megközelítéssel is találkozhatunk. Az első szerint egy olyan elmélet, amely a fizika ma ismert négy kölcsönhatását egyetlen rendszerben magyarázza, egyesíti a gravitáció és a kvantumfizika eddig ismert törvényeit. A húrelmélet vagy az „M”-elmélet területén dolgozó fizikusok pontosan ezt a célt tűzték maguk elé. A másik megközelítés az előbbiből indul ki. Ha egyszer megtaláljuk az egyesített elméletet, amely ellentmondásmentesen írja le az összes kölcsönhatást, akkor az egész fizikai világot képesek leszünk ezen elmélet segítségével tárgyalni. Nem lesz szükség másra, csak ezen elméletre, és ebből, ha kacifántos módon is, de levezethető minden jelenség, amellyel találkozhatunk. Az előbbi tudományos elméletként nem kíván mást, pusztán a négy kölcsönhatást egyetlen közös elméletben tárgyalni, míg az utóbbi egy tudományos elméletből kiinduló metafizikai elv, egyetlen fizikai elmélettel kívánja megválaszolni a világ eredetének minden rejtélyét. A követhetőség kedvéért az előbbit nevezzük egyesített elméletnek, míg utóbbit a mindenség elméletének.

 

 

Az egyesített elmélet felállításához nyilvánvalóan szükségünk van valamiféle matematikára, amelyre Gödel nemteljességi tételei is érvényesek. A fizikai elméletnek mindezzel nem sok gondja van. Gödel tétele nem azt állítja, hogy a matematika kijelentései végső soron bizonyíthatatlanok lennének, vagy azt, hogy bizonyos tételek a matematikában nem bizonyíthatóak, mindössze annyit állít, hogy a fenti kritériumoknak megfelelő rendszerekben mindig lesznek bizonyíthatatlan állítások. Egy kibővített rendszerben, új axiómák felvételével, az adott állítás igazolható lehet. A kibővített rendszerben újabb bizonyíthatatlan állítások jelennek meg, de a korábbi kérdéses tételt egy új rendszerben igazolhatjuk. Ha sikerül egy olyan matematikai rendszert alkotni – Gödel I. tétele alapján erre minden esélyünk megvan –, amelyben a fizika számára fontos állítások egytől-egyig igazolhatók, akkor az egyesített elméletet kivonhatjuk Gödel I. tételének érvényességi köre alól. A matematikusoknak egyáltalán nem nehéz megalkotni egy olyan matematikát, amelyben a fizika számára szükséges matematikai állítások egytől egyig igazolhatóak, maradnak ugyan bizonyíthatatlan tételek, de ezekre a fizika egyesített elméletének nincs szüksége. Gödel II. tétele rémisztőbbnek tűnik, hiszen azt állítja, hogy egy aritmetikát tartalmazó matematikai rendszer nem tudja bizonyítani saját konzisztenciáját. A félreértések elkerülése végett fontos leszögezni, hogy e tétel nem azt jelenti, hogy egy rendszer nem konzisztens, hanem azt, hogy konzisztenciája nem bizonyítható a rendszer keretei között. Ha a matematika nem vezet ellentmondásra a fizikai világ leírása során, reprezentálja az elméleti és a kísérleti tapasztalatokat, akkor fizikai szempontból mindenképpen konzisztensnek tekinthető. Ha az egyesített elmélet célként csak annyit tűz ki, hogy egyesítse a ma ismert négy fizikai kölcsönhatást, és nem szeretne mindent, például a matematikát is megmagyarázni, akkor Gödel tételeinek hatókörén kívül helyezkedik el.

 

 

Gödel tételét először és talán legmarkánsabban Jáki Szaniszló (2004a) alkalmazta a fizika végső elméletével szemben. Nem vitatja a fizikai elméletek értelmességét, sőt elismeri, hogy elviekben semmi nem zárja ki annak a lehetőségét, hogy a fizikusok egyszer megalkothassák a mikrovilág és a gravitáció egyesített elméletét. Jáki az elmélet végső és konzisztens volta ellen tiltakozik. „Rátalálhatnak egy elméletre, amelyik abban a pillanatban formulái segítségével magyarázatot ad minden ismert fizikai jelenségre. De Gödel tétele értelmében egy ilyen elmélet nem tartható olyasminek, ami szükségképpen igaz.” (Jáki, 2004b)

 

 

Gödel tételei mindaddig nem okoznak semmiféle problémát a fizika bármely elméletének, legyen az az egyesített elmélet, a newtoni mechanika vagy egy ma még ismeretlen fizika, ameddig a fizika megmarad fizikának, és nem kíván világmagyarázó elvvé válni. Egy jól körülhatárolt elmélet, amely nem lép túl saját keretein, védett a nemteljesség problémájától. A mindenség magragadását célzó végső elméletnek, amely nemcsak fizika, hanem metafizika kíván lenni, szembe kell néznie a Gödel tételei szülte kihívásokkal és talán még ezeknél is súlyosabb problémákkal. A jól ismert közmondást idézve: Suszter maradjon a kaptafánál!, azaz a fizikus ne kívánjon mindenre válaszolni, mert akkor beleütközik a saját tudománya szabta keretekbe.